一个nn个点mm条边的无向连通图

小Z在该图上进行随机游走，初始时小Z在 号顶点，每一步小Z以相等的概率随机选择当前顶点的某条边，沿着这条边走到下一个顶点，获得等于这条边的编号的分数。当小Z到达 号顶点时游走结束，总分为所有获得的分数之和。

现在，请你对这mm条边进行编号，使得小Z获得的总分的期望值最小。

n≤500n\le500

Luogu P3232

Solution

首先，根据排序不等式（或者贪心思想）可以发现，期望经过最多次数越多，分配的权值就要越小

那么转化成求每条边的期望经过次数

再转化一下，转化成求每个点的期望经过次数，即

p(x,y)=p[x]deg[x]+p[y]deg[y] p(x,y)=\frac{p[x]}{deg[x]}+\frac{p[y]}{deg[y]}

因为对于这条边上的两个点，都有度数分之一的概率走这条边

而每个点期望经过次数就是相邻点的期望除以它的度数，即

p[x]=∑yp[y]deg[x]+[x==1] p[x] = \frac{\sum_{y}p[y]}{deg[x]} + [x==1]

发现这个期望相互之间会有影响，高斯消元求解即可

需要注意的几个点：

  • 因为起点一开始第一次并不是从任何一个节点转移过来的，因此需要+1

  • 因为到了终点就会停止，所以与终点相连的边不需要考虑

  • 高斯消元找系数最大项是为了更方便判断无解（因为如果找不到系数>0>0的就无解）

    似乎也可以减小精度误差，但并没搞清楚原理，就按方便判无解记住吧

  • 浮点数比大小：（以前一直没搞清楚）

    感性理解一下的话就是如果a<ba<b，那么相对于很小epseps而言，aa和bb的差是远远大于它的，所以是<−eps<-eps；而如果a=ba=b的话，有可能aa比bb大一点点，但只要在epseps误差范围内就能接受，所以是<eps<eps

Code

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#include <bits/stdc++.h>

#define x first
#define y second
#define y1 Y1
#define y2 Y2
#define mp make_pair
#define pb push_back

using namespace std;

typedef long long LL;
typedef pair<int, int> pii;

template <typename T> inline int Chkmax (T &a, T b) { return a < b ? a = b, 1 : 0; }
template <typename T> inline int Chkmin (T &a, T b) { return a > b ? a = b, 1 : 0; }

inline void proc_status()
{
	ifstream t ("/proc/self/status");
	cerr << string (istreambuf_iterator <char> (t), istreambuf_iterator <char> ()) <<endl;
}

template <typename T> T read ()
{
	T sum = 0, fl = 1; char ch = getchar();
	for (; !isdigit(ch); ch = getchar()) if (ch == '-') fl = -1;
	for (; isdigit(ch); ch = getchar()) sum = (sum << 3) + (sum << 1) + ch - '0';
	return sum * fl;
}

const int Maxn = 500 + 20, eps = 1e-8;

int N, M, e, Begin[Maxn], To[Maxn * Maxn], Next[Maxn * Maxn];
int deg[Maxn];
pii Edge[Maxn * Maxn];

inline void add_edge (int x, int y) { To[++e] = y; Next[e] = Begin[x]; Begin[x] = e; ++deg[x]; }

double P[Maxn];

namespace Gauss
{
	double A[Maxn][Maxn];

	inline void work ()
	{
		for (int i = 1; i < N; ++i)
		{
			int pos = i;
			for (int j = i + 1; j < N; ++j) if (fabs(A[j][i]) - fabs(A[pos][i]) > eps) pos = j;
			swap(A[pos], A[i]);
			for (int j = i + 1; j <= N; ++j) A[i][j] /= A[i][i];
			A[i][i] = 1;
			for (int j = i + 1; j < N; ++j)
			{
				for (int k = i + 1; k <= N; ++k) A[j][k] -= A[j][i] * A[i][k];
				A[j][i] = 0;
			}
		}

		for (int i = N - 1; i >= 1; --i)
		{
			for (int j = i + 1; j < N; ++j) A[i][N] -= A[i][j] * P[j];
			P[i] = A[i][N] / A[i][i];
		}
	}
	
	inline void init ()
	{
		A[1][N] = 1;
		for (int i = 1; i < N; ++i)
		{
			A[i][i] = 1;
			for (int j = Begin[i]; j; j = Next[j])
			{
				int y = To[j];
				if (y != N) A[i][y] = -1.0 / deg[y];
			}
		}
	}
}

double Ans[Maxn * Maxn];

inline void Solve ()
{
	Gauss :: init();
	Gauss :: work();
	for (int i = 1; i <= M; ++i)
	{
		if (Edge[i].x != N) Ans[i] += P[Edge[i].x] / deg[Edge[i].x];
		if (Edge[i].y != N) Ans[i] += P[Edge[i].y] / deg[Edge[i].y];
	}
	sort(Ans + 1, Ans + M + 1);
	double ans = 0;
	for (int i = 1; i <= M; ++i)
		ans += Ans[i] * (M - i + 1);
	printf("%.3lf\n", ans);
}

inline void Input ()
{
	N = read<int>(), M = read<int>();
	for (int i = 1; i <= M; ++i)
	{
		int x = read<int>(), y = read<int>();
		Edge[i].x = x, Edge[i].y = y;
		add_edge (x, y);
		add_edge (y, x);
	}
}

int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("A.in", "r", stdin);
	freopen("A.out", "w", stdout);
#endif
	Input();
	Solve();
	return 0;
}

Debug

  • mm最大可能到maxn∗maxnmaxn * maxn，一开始开小了