众所周知,小 naive 有一张 nn 个点,mm 条边的带权无向图。

第 ii 个点的颜色为 cic_i 。d(s,t)d(s, t)表示从点 s 到点 t 的权值最小的路径的权值,一条路径的权值定义为路径上权值最大的边的权值。

求所有满足 u<v,∣cu−cv∣≥Lu < v, |c_u - c_v | \ge L 的点对 (u,v)(u, v) 的 d(u,v)d(u, v) 之和。

n≤2×105,m≤5×105n\le 2 \times 10^5, m\le 5 \times 10^5

Solution

可以发现,产生贡献的答案一定是最小生成树上的边

对于一条新加进最小生成树的边(x,y,z)(x,y,z)而言,在xx所在连通块中的所有点都会对yy所在连通块中的所有满足∣cu−cv∣≥L|c_u -c_v|\ge L的点产生贡献

那么对每个连通块维护一颗平衡树就可以了,并且需要启发式合并

由于平衡树需要支持的操作很少,所以只需要pb_dspb\_ds

Code

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#include<bits/stdc++.h>
#include<bits/extc++.h>
using namespace std;
using namespace __gnu_pbds;
inline void read(int &x){
    char c = getchar();
    int p = 1;
    x = 0;
    while(!isdigit(c)){
        if(c == '-')p = -1;
        c = getchar();
    }
    while(isdigit(c)){
        x = (x << 1) + (x << 3) + (c ^ '0');
        c = getchar();
    }
    x *= p;
}
const int maxn = 200050, maxm = 500050;
struct edge{
    int u, v, w;
}e[maxm];
#define mp make_pair
tree<pair<int, int>, null_type, less<pair<int, int> >, rb_tree_tag, tree_order_statistics_node_update>se[maxn];
tree<pair<int, int>, null_type, less<pair<int, int> >, rb_tree_tag, tree_order_statistics_node_update>::iterator it;
int c[maxn], n, m, l, f[maxn], cnt;
long long ans;
inline void init(){
    for(register int i = 0; i <= n + 1; ++i){
        f[i] = i;
    }
}
inline int getf(int u){
    return f[u] == u ? u : f[u] = getf(f[u]);
}
inline void merg(int u, int v){
    f[u] = v;
}
inline bool cmp(edge a, edge b){
    return a.w < b.w;
}
int main(){
    freopen("graph.in", "r", stdin);
    freopen("graph.out", "w", stdout);
    read(n), read(m), read(l);
    init();
    for(register int i = 1; i <= n; ++i){
        read(c[i]);
        se[i].insert(mp(c[i], ++cnt));
    }
    for(register int i = 1; i <= m; ++i){
        read(e[i].u), read(e[i].v), read(e[i].w);
    }
    sort(e + 1, e + 1 + m, cmp);
    int fu, fv, szu, szv, dis1, dis2;
    for(register int i = 1; i <= m; ++i){
        fu = getf(e[i].u), fv = getf(e[i].v);
        if(fu != fv){
            szu = se[fu].size(); szv = se[fv].size();
            if(szu > szv)swap(fu, fv), swap(szu, szv);
            for(it = se[fu].begin(); it != se[fu].end(); ++it){
                int val = (*it).first + l;
                dis1 = se[fv].order_of_key(mp(val - 1, ++cnt));
                dis1 = szv - dis1;
                if(dis1 > 0)ans += 1ll * e[i].w * dis1;
                val = (*it).first - l;
                dis2 = se[fv].order_of_key(mp(val, ++cnt));
                if(dis1 + dis2 > szv && l == 0){
                    dis2 = szv - dis1;
                }
                if(dis2 > 0)ans += 1ll * e[i].w * dis2;
            }
            for(it = se[fu].begin(); it != se[fu].end(); ++it){
                se[fv].insert(mp((*it).first, ++cnt));
            }
            se[fu].clear();
            merg(fu, fv);
        }
    }
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}